2.3 Couples d’entiers en << même rapport >>

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2.3 Couples d’entiers en << même rapport >>

Pour comparer des grandeurs de même espèce, Euclide introduit la notion de << raison >> comme << une certaine manière d’être de deux grandeurs homogènes, suivant la quantité >>²³. S’il ne peut donner une définition claire de cette notion de << raison >> (car il s’agit en fait de rapports de nombres réels lorsque les grandeurs sont mesurées par une unité commune), il donne par contre une définition très précise mais sophistiquée de la propriété pour deux couples de grandeurs d’être << en même raison >> (i.e. proportionnelles : Livre V, déf. 6).

Transposée aux couples de nombres (entiers) susceptibles de se multiplier, cette notion correspond à leur << rapport >> qu’Euclide ne définit pas. Par contre, comme pour comparer les raisons entre grandeurs, Euclide définit précisément l’égalité entre rapports de nombres (Livre VII, déf. 21) :

<< Des nombres sont en proportion quand le premier, du deuxième, et le troisième, du quatrième, sont équimultiples. . . >>

$a-= c- b d$ s’il existe deux entiers p et q tels que qa = pb et qc = pd.

Nous l’utiliserons plutôt sous la forme suivante :

Les couples de nombres entiers non nuls (a, b) et (c, d) sont << en même rapport >> si et seulement si ils forment une proportion, c’est-à-dire s’ils vérifient l’égalité : ad = bc.

Euclide énonce ainsi cette proportionnalité : << a est à b comme c est à d >>, locution qui sera symbolisée plus tard par << a : b :: c : d >>.

Cette notation est maintenant désuète, remplacée pour les nombres par $a c --= -- b d$ (cela suppose d’avoir défini le rationnel représenté par ces fractions, ce qui n’est pas nécessaire dans la suite), mais elle avait l’avantage d’être plus générale, concernant aussi bien des grandeurs que des entiers. Elle autorisait certaines pratiques et techniques de la proportionnalité entre couples de grandeurs non nécessairement commensurables et éventuellement de natures différentes : longueurs, aires, . . . (dans ce cas, cette proportionnalité ne peut être exprimée en termes numériques sans une théorie de la mesure élaborée, supposant la construction des nombres réels).

Pour nous, un rationnel non nul est défini comme quotient de deux entiers (c, d) non nuls, représenté en écriture fractionnaire par $c. d$

Le fond de la démarche euclidienne est de remarquer que ce rationnel peut être représenté de manière unique par une fraction irréductible $a. b$ Cela revient à montrer qu’il existe un couple unique de nombres non nuls (a, b) premiers entre eux, qui sont dans le même rapport que (c, d) (i.e. $a-= c- b d$ où $a- b$ est irréductible)²⁴. L’argument essentiel est que a et b sont les plus petits nombres parmi ceux qui sont dans le même rapport que c et d. Il s’en suit que pour tout autre couple (x, y) dans ce même rapport, x et y sont des équimultiples de a et b.

Remarquons que le résultat tire parti du lien entre la relation d’ordre naturel sur $* N$ et la relation de divisibilité. Ce lien sera finement exploité dans la démonstration d’Euclide que nous présentons dans le paragraphe suivant.

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