2.5 Équivalence entre le théorème d’Euclide et le théorème de Gauss

• Supposons que a divise bc et que a est premier avec b. Montrons que a divise c.
• Il existe donc d non nul tel que ad = bc. a et b sont donc premiers entre eux dans le même rapport que (c, d).
• D’après le théorème d’Euclide, a divise c.

Mais le théorème d’Euclide est aussi une conséquence immédiate du théorème de Gauss :

• Supposons que a et b sont premiers entre eux, en même rapport que (c, d). On a ad = bc.
• a divise donc bc et d’après le théorème de Gauss, a divise c : c = aq.
• De même, comme a et b sont premiers entre eux et comme b divise ad, alors (Gauss) b divise d : d = bq'.
• Comme ad = bc, on a : abq' = baq, d’où q = q'.
• c et d sont donc des équimultiples de a et b.