2.4 Le << théorème d’Euclide >>

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2.4 Le << théorème d’Euclide >>

a) Les énoncés d’Euclide

Cette partie du Livre VII qui dégage les propriétés du couple minimal d’une proportion, comprend les trois propositions suivantes. Les énoncés donnés sont conformes au texte des Éléments puis interprétés :

Proposition 20, la clé de l’édifice :

<< Les plus petits nombres parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux mesurent ceux qui ont le même rapport autant de fois, le plus grand le plus grand et le plus petit le plus petit >>.

Si a et b sont deux entiers non nuls et si pour tout (c, d) formant avec (a, b) une proportion on a a $\<$ c et b $\<$ d, alors il existe un entier q tel que c = qa et d = qb.

Proposition 21, la bonne remarque :

<< Les nombres premiers entre eux sont les plus petits parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux >>.

Si a et b sont premiers entre eux, alors pour tout (c, d) formant avec (a, b) une proportion, on a a $\<$ c et b $\<$ d.

Proposition 22, réciproque de la précédente :

<< Les nombres les plus petits parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux sont premiers entre eux >>.

b) L’énoncé du << théorème d’Euclide >>

De ces trois propositions, dégageons un énoncé synthétique plus moderne, que nous appelons le << théorème d’Euclide >>²⁵ :

Soient (a, b) et (c, d) deux couples d’entiers non nuls en même rapport (ad = bc). Si a et b sont premiers entre eux, alors c et d sont équimultiples de a et b (i.e. il existe un entier q tel que c = aq et d = bq).

L’existence d’une fraction irréductible égale à une fraction donnée (cf. note 22) est un résultat bien connu des élèves de collège (on peut rêver!) : << toute fraction non irréductible est simplifiable >>. Mais le théorème d’Euclide apporte de plus l’unicité de la fraction réduite :

Soit $d$ le PGCD de c et d, obtenu par l’algorithme d’Euclide initialisé par la division de c par d : on a $c = da$ et $d = db$ où $a- b$ est la fraction réduite égale à $c- d .$
Si $a -- b$ est une fraction irréductible égale à $c --, d$ d’après le théorème, c et d sont des équimultiples de a et b : il existe q diviseur commun de c et d tel que $c = aq = da$ et $d = bq = db$ .
q est un diviseur de $d$ : $d = qd'$ , car dans l’algorithme d’Euclide, si q divise c et d, il divise les restes successifs jusqu’au dernier reste non nul $d$ .
On a donc $' a = d a$ et $' b = d b$ , et comme a et b sont premiers entre eux, $d'= 1$ , d’où l’unicité : $a = a$ et $b = b$ .

Pour résumer, le théorème d’Euclide peut être formulé en termes de fractions :

Étant donnée la fraction $c d-,$ si la fraction $a b-$ est une fraction irréductible égale à $c- d ,$ alors $c = ad$ et $d = bd$ , où $d$ est le PGCD de c et de d.

c) Sa démonstration par Euclide

La démonstration qui suit est directement adaptée de celle des Éléments, dans des formulations condensées et une symbolique contemporaine à l’usage des élèves de Terminale ²⁶.

L’idée est d’introduire le couple (a, b) des << plus petits entiers en même rapport >> qu’un couple (c, d) donné (i.e. pour tout couple (x, y) en même rapport que (c, d), on a a $\<$ x et b $\<$ y). Euclide en admet implicitement l’existence, mais cela ne va pas complètement de soi. En termes ensemblistes, on peut le voir ainsi :

Soit E l’ensemble non vide des couples (x, y) d’entiers non nuls en même rapport que (c, d).

Soit F l’ensemble des premières projections des éléments de E. F est une partie non vide de $* N$ . Il existe donc dans F un plus petit élément a et par suite un couple (a, b) dans E tel que ad = bc.

Pour tout autre couple (x, y) en même raison que (c, d), on a ay = bx (car xd = yc entraîne bxd = bcy = ady).

Puisque a est le plus petit élément de F, on a a $\<$ x et donc b $\<$ y (sinon ay < bx!).

Voici d’abord la démonstration de la proposition 20, c’est le clou du spectacle :
- Supposons que a et b soient les nombres les plus petits de ceux qui sont en même rapport avec eux. Soit (c, d) en même rapport que (a, b), on a ad = bc et a $\<$ c et b $\<$ d.
- La division euclidienne de c par a et de d par b donne l’existence et l’unicité des couples (q, r) et (q', r') tels que : ${ c = aq + r { q >= 1 { 0 \< r < a (1) ' ' avec ' et ' d = bq + r q >= 1 0 \< r < b$
  d’où
  ${ { { (2) bc = abq + br avec q >= 1 et 0 \< rb < ab ad = abq'+ ar' q'>= 1 0 \< r'a < ab$
- Par unicité de la division euclidienne de bc = ad par ab, on a q = q' et br = ar'.
- En reportant cela dans (1), il vient : ${ { ' c = aq + r 0 \< r < a ' (1 ) d = bq + r' avec q >= 1, 0 \< r' < b et ar = br$
- Supposons que $r /= 0$ . Comme ar' = br, $r'/= 0$ et (r, r') sont en même rapport que (a, b). De plus r < a et r' < b. Mais on avait supposé que a et b sont les plus petits nombres de ceux qui sont dans ce même rapport!
- Donc r = 0 et comme br = ar', on a r' = 0, d’où ${ c = aq d = bq$ : a divise c et b divise d avec le même quotient q.
On établit ensuite l’équivalence indiquée par les propositions 21 et 22 :
Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si a et b sont les plus petits nombres parmi les couples qui sont en même rapport qu’eux.
1. - Soient a et b deux entiers premiers entre eux et supposons qu’ils ne soient pas les plus petits qui sont en même rapport qu’eux.
  - Soit (a', b') le couple des entiers les plus petits parmi ceux qui sont en même rapport que (a, b) : ab' = ba' [l’existence de ce couple (a', b') a été montrée ci-dessus].
  - D’après la proposition 20, a' divise a et b' divise b dans le même rapport q : a = qa' et b = qb'. Si q était plus grand que 1, il serait diviseur commun de a et b qui ne seraient pas premiers entre eux!
  - Donc q = 1 et a et b sont les plus petits entiers de ceux qui sont en même rapport qu’eux.
2. - Réciproquement, supposons que a et b sont les plus petits entiers de ceux qui sont en même rapport qu’eux.
  - Supposons que a et b ne soient pas premiers entre eux.
  - Soit $d > 1$ le PGCD de a et b (obtenu par exemple par l’algorithme d’Euclide). Soient a' et b' les quotients de a et b par $d$ . a' et b' sont premiers entre eux et comme $a = da'$ et $' b = db$ , on a a' < a et b' < b.
  - Alors $' '' ' ab = dab = a b$ . (a', b') sont donc en même rapport que (a, b) et plus petits qu’eux. Mais a et b sont les plus petits de ceux qui sont dans ce même rapport!
  - a et b sont donc premiers entre eux.

Cette équivalence permet de remplacer l’hypothèse de la proposition 20 par << a et b premiers entre eux >>, ce qui donne notre théorème d’Euclide.

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